(FUVEST - 03) Seja f a função que associa, a cada número real x, o menor dos números x + 3 e - x + 5. Assim, o valor máximo de f(x) é:
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 7

Sendo as duas funções lineares, uma crescente e a outra decrescente, o valor máximo entre as duas será quando tiverem valores iguais, ou seja: x + 3 = - x + 5 x = 1. Daí o máximo de f(x) é 1 + 3 = - 1 + 5 = 4


Resposta: C

Exponencial

CONCEITO

Função exponencial é toda função , definida por  com  e .

Neste tipo de função como podemos observar em , a variável independente x está no expoente, daí a razão da sua denominação. É importante também observar que a base a é um valor real constante, isto é, um número real.

CARACTERISTÍCA 

Temos algumas restrições, visto que temos  e .

Se  teríamos uma função constante e não exponencial, pois 1 elevado a qualquer x real sempre resultaria em 1. Neste caso  equivaleria a   que é uma função constante.

E para , por que tal restrição?

Ao estudarmos a potenciação vimos que 0⁰ é indeterminado, então  seria indeterminado quando .

No caso de  não devemos nos esquecer de que não existe a raiz real de um radicando negativo e índice par, portanto se tivermos, por exemplo,  e   o valor de   não será um número real, pois teremos:

E como sabemos  .

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

As equações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Observe os exemplos:

2^x = 256
3^x+1 = 9
4^x = 1024
2^x+2 = 512

As equações exponenciais possuem um método de resolução diferenciado, precisamos igualar as bases para aplicarmos a propriedade de igualdade entre os expoentes. Observe a resolução da seguinte equação:

5^x = 625 (fatorando 625 temos: 5⁴) 
5^x = 5⁴
x = 4
A solução da equação exponencial será x = 4.

Observação: fatorar significa decompor o número em fatores primos, isto é, escrever o número através de uma multiplicação de fatores iguais utilizando as regras de potenciação. 

INEQUAÇÃO

Assim como as equações exponenciais, as inequações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente.  Confira alguns exemplos:

A resolução de uma inequação exponencial poderá ser dada através das propriedades da potenciação. Mas lembre-se de que f(x) = a^x somente é crescente quanto a > 1. Caso 0 < a < 1, f(x)= a^x é decrescente.

Antes de resolver uma inequação exponencial, deve-se observar a situação das bases nos dois membros, caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em seguida, forme uma inequação com os expoentes. Atente-se as regras dos sinais:

• Caso a > 1, mantenha o sinal original.
• Caso 0 < a < 1, inverta o sinal.

Essas regras serão mais bem visualizadas nas resoluções que se seguem. Vamos resolver os exemplos das inequações anteriores.

CRESCENTE E DECRESCENTE

Se  temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x.

No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida quex aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos que a curva da função é crescente.

Se  temos uma função exponencial decrescente em todo o domínio da função.

Neste outro gráfico podemos observar que à medida que xaumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente.

Função Quadrática

CONCEITO

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.

Vejamos alguns exemplos de função quadrática:

f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1             

 GRÁFICO                         

  O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamadaparábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

    

Observação:

 Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

• se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

 

Temos:

Observação:

Observação

   A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:

• quando delta é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando delta é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
• quando delta é negativo, não há raiz real.

  

• 
  

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO

A função de 2º Grau, ao contrário da de 1º Grau não é monotônica. Ela apresenta um intervalo onde é crescente e um intervalo onde é decrescente. Distinguimos dois tipos:

Nesse primeiro caso a>0, a função é crescente para valores de x maiores que Xv e é decrescente para valores de x menores que Xv.

Já nesse segundo caso a <0, a função é crescente para valores de x menores que Xv e é decrescente para valores de x maiores que Xv.

Resumindo: 

ESTUDO DO SINAL

Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 2° grau é identificar para quais valores de x temos f(x) com valornegativo, nulo ou positivo.

Vamos analisar novamente o gráfico da função :

*Para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima doeixo das abscissas.

*Para x = 1 ou x = 3 temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0.

*Para x > 1 e x < 3 vemos no gráfico que f(x) < 0, visto que estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.

Então para a função x < 1 ou x > 3 temos que:

*A função é negativa para  .

*A função é nula para .

*A função é positiva para .

A representação também pode ser assim realizada:

*

*

*

Como vimos acima para realizarmos o estudo da variação do sinal de uma função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo.

Ao iniciarmos os estudos das funções do segundo grau vimos que a direção da concavidade da parábola depende diretamente do coeficiente a da sua regra de associação.

Em função das raízes da função e da direção da concavidade da parábola temos seis possíveis situações distintas:

MÁXIMO,MINIMO E VÉRTICE

 A representação gráfica de uma função do 2º grau é dada através de uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. 

Veja: 

Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:

Exemplos 

1 – Na função y = x² - 2x +1, temos que a = 1, b = -2 e c = 1. Podemos verificar que 

a > 0, então a parábola possui concavidade voltada para cima possuindo ponto mínimo. Vamos calcular as coordenadas do vértice da parábola. 

 

INEQUAÇÕES

As inequações são expressões matemáticas que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente

 As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.

Inequações

INEQUAÇÕES

Inequação é uma expressão matemática que possui a propriedade de expressar desigualdades, diferente da equação que expressa igualdade. 
O sinal usado na equação é o símbolo de igual (=), já na inequação usaremos os seguintes símbolos matemáticos: 

> : maior que 
< : menor que 
≥ : maior que ou igual 
≤ : menor que ou igual 
Os passos para resolver uma inequação são semelhantes aos de uma equação. 
Podemos generalizar a apresentação de uma inequação da seguinte forma: 
ax + b > 0 
ax + b < 0 
ax + b ≥ 0 
ax + b ≤ 0 
Onde a e b são números reais e a ≠ 0 

Resolução de inequações e representação na reta real. 

Exemplo 1 
2x + 7 > –1 + 2 
2x > –1 + 2 – 7 
2x > –8+2 
2x > –6 
x > –3 
{xЄR/x > –3} 



Exemplo 2 
4x – 10 < 20 – 2x 
4x + 2x < 20 + 10 
6x < 30 
x < 5 
{xЄR/x < 5} 

Crescente e Decrescente

De maneira geral,para uma função  de primeiro grau poodemos estabelecer as seguintes relações entre o sinal do coeficiente "a" e o crescimento e o decrescimento dessa função.

DECRESCENTE

Quando a < 0,ou seja,negarivo.

CRESCENTE

Quando a > 0,ou seja,positivo.