Exponencial

CONCEITO

Função exponencial é toda função , definida por  com  e .

Neste tipo de função como podemos observar em , a variável independente x está no expoente, daí a razão da sua denominação. É importante também observar que a base a é um valor real constante, isto é, um número real.

CARACTERISTÍCA 

Temos algumas restrições, visto que temos  e .

Se  teríamos uma função constante e não exponencial, pois 1 elevado a qualquer x real sempre resultaria em 1. Neste caso  equivaleria a   que é uma função constante.

E para , por que tal restrição?

Ao estudarmos a potenciação vimos que 0⁰ é indeterminado, então  seria indeterminado quando .

No caso de  não devemos nos esquecer de que não existe a raiz real de um radicando negativo e índice par, portanto se tivermos, por exemplo,  e   o valor de   não será um número real, pois teremos:

E como sabemos  .

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

As equações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Observe os exemplos:

2^x = 256
3^x+1 = 9
4^x = 1024
2^x+2 = 512

As equações exponenciais possuem um método de resolução diferenciado, precisamos igualar as bases para aplicarmos a propriedade de igualdade entre os expoentes. Observe a resolução da seguinte equação:

5^x = 625 (fatorando 625 temos: 5⁴) 
5^x = 5⁴
x = 4
A solução da equação exponencial será x = 4.

Observação: fatorar significa decompor o número em fatores primos, isto é, escrever o número através de uma multiplicação de fatores iguais utilizando as regras de potenciação. 

INEQUAÇÃO

Assim como as equações exponenciais, as inequações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente.  Confira alguns exemplos:

A resolução de uma inequação exponencial poderá ser dada através das propriedades da potenciação. Mas lembre-se de que f(x) = a^x somente é crescente quanto a > 1. Caso 0 < a < 1, f(x)= a^x é decrescente.

Antes de resolver uma inequação exponencial, deve-se observar a situação das bases nos dois membros, caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em seguida, forme uma inequação com os expoentes. Atente-se as regras dos sinais:

• Caso a > 1, mantenha o sinal original.
• Caso 0 < a < 1, inverta o sinal.

Essas regras serão mais bem visualizadas nas resoluções que se seguem. Vamos resolver os exemplos das inequações anteriores.

CRESCENTE E DECRESCENTE

Se  temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x.

No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida quex aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos que a curva da função é crescente.

Se  temos uma função exponencial decrescente em todo o domínio da função.

Neste outro gráfico podemos observar que à medida que xaumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente.