Função Quadrática

CONCEITO

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.

Vejamos alguns exemplos de função quadrática:

f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1             

 GRÁFICO                         

  O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamadaparábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

    

Observação:

 Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

• se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

 

Temos:

Observação:

Observação

   A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:

• quando delta é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando delta é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
• quando delta é negativo, não há raiz real.

  

• 
  

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO

A função de 2º Grau, ao contrário da de 1º Grau não é monotônica. Ela apresenta um intervalo onde é crescente e um intervalo onde é decrescente. Distinguimos dois tipos:

Nesse primeiro caso a>0, a função é crescente para valores de x maiores que Xv e é decrescente para valores de x menores que Xv.

Já nesse segundo caso a <0, a função é crescente para valores de x menores que Xv e é decrescente para valores de x maiores que Xv.

Resumindo: 

ESTUDO DO SINAL

Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 2° grau é identificar para quais valores de x temos f(x) com valornegativo, nulo ou positivo.

Vamos analisar novamente o gráfico da função :

*Para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima doeixo das abscissas.

*Para x = 1 ou x = 3 temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0.

*Para x > 1 e x < 3 vemos no gráfico que f(x) < 0, visto que estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.

Então para a função x < 1 ou x > 3 temos que:

*A função é negativa para  .

*A função é nula para .

*A função é positiva para .

A representação também pode ser assim realizada:

*

*

*

Como vimos acima para realizarmos o estudo da variação do sinal de uma função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo.

Ao iniciarmos os estudos das funções do segundo grau vimos que a direção da concavidade da parábola depende diretamente do coeficiente a da sua regra de associação.

Em função das raízes da função e da direção da concavidade da parábola temos seis possíveis situações distintas:

MÁXIMO,MINIMO E VÉRTICE

 A representação gráfica de uma função do 2º grau é dada através de uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. 

Veja: 

Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:

Exemplos 

1 – Na função y = x² - 2x +1, temos que a = 1, b = -2 e c = 1. Podemos verificar que 

a > 0, então a parábola possui concavidade voltada para cima possuindo ponto mínimo. Vamos calcular as coordenadas do vértice da parábola. 

 

INEQUAÇÕES

As inequações são expressões matemáticas que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente

 As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.