Logaritmo

Formulação do logaritmo

O logaritmo nos dias de hoje possui a sua formulação bem definida e estruturada, que é dada por:

Sejam a e b dois números reais positivos (a ≠ 1, b > 0 e a > 0), denomina-se logaritmo de a na base b o expoente x (log_a b = x ), sendo b^x = a:

log_b a = x ↔ b^x = a

a = logaritmando
b = base do logarítmo
x = logaritmo

Exemplos de cálculos com logaritmos

Para entender melhor essa definição, vamos utilizá-la nos exemplos a seguir:

1) Encontre o valor dos logaritmos:

a) log₃ 9 = x

log_a b = x → log₃ 9 = x
a = 3 = base
b = 9 = logaritmando
x = logaritmo

Como log_a b = x ↔ b^x = a, então:

log₃ 9 = x ↔ 3^x = 9.

3^x = 9 → Fatore o logaritmando 9. A fatoração é: 9 = 3 . 3 = 3²

3^X = 3^{2 →} Como a base é o número 3 e temos uma igualdade, podemos então igualar os expoentes para encontrar o valor de x.

x = 2.

Substituindo x por 2 no log, temos:

log₃ 9 = x → log₃ 9 = 2

b) log₅ 125 = x

log_a b = x → log₅ 125 = x
a = 5 = base
b = 125 = logaritmando
x = logaritmo

Como log_a b = x ↔ b^x = a, então:

log₅ 125 = x ↔ 5^x = 125.

5^x = 125 → Fatore o logaritmando.

5^X = 5³ → Como a base é o número 5 e temos uma igualdade, podemos então igualar os expoentes para encontrar o valor de x.

x = 3.

Substituindo x por 3 no log, temos:

log₅ 125 = x → log₅ 125 = 3

c) log₂₅ (0,2) = x

log_a b = x → log₂₅ 0,2 = x
a = 25 = base
b = 0,2 = 2^{: 2}= 1 = logaritmando
             10^{: 2}   5
x = logaritmo

Como log_a b = x ↔ b^x = a, então:

log₂₅ 0,2 = x ↔ 25 ^x = 0,2

log₂₅ 0,2 = x ↔ 25 ^x = 1 .
                                    5

25 ^x = 1 → fatore o 25 e revele o expoente de 1.
          5                                                                    5

(5²) ^x = 5^-1 → Como a base é o número 5 e temos uma igualdade, podemos igualar os expoentes para encontrar o valor de x.

2x = - 1

x = - 1
       2

Substituindo x por - 1 no log, temos:
                                   2

log₂₅ 0,2 = x ↔ log₂₅ 0,2 = - 1
                                               2