Olá galera,hoje vamos fazer uma postagem sobre logaritmo,um assunto que para ser compreendido precisamos ter uma base sobre potenciação e radiciação,basta dar uma olhadinha na nossa postagem anterior!

Origem:

Teve sua origem no século XVII, no ano de 1614,conceito criado por Jhon Napier e Joost Burgi. Napier,o responsável pela elaboração da primeira tábua de logaritmo, que era uma tabela com números que apresentava o valor das mantissas (parte decimal do logaritmo).

Burgi, desenvolveu os seus estudos paralelamente aos de Napier, mas divulgou os seus resultados tardiamente, pois somente em 1620 que publicou suas tábuas. Nessa época, as tábuas de Napier já estavam difundidas por todo o continente europeu.

A palavra logaritmo é formada pela junção das palavras gregas lógos e arithmós, que significam razão e número

Formula do log:

log_b a = x ↔ b^x = a

a = logaritmando
b = base do logarítmo
x = logaritmo

Alguns exemplos:

Equações Logaritmicas:

Uma equação logarítmica apresenta a incógnita na base do logaritmo ou no logaritmando. Lembrando que um logaritmo possui o seguinte formato:

log_a b = x ↔ a^x = b,

Ao resolver equações logarítmicas, devemos ter ciência das propriedades operatórias dos logaritmos, pois elas podem facilitar o desenvolvimento dos cálculos. Há, até mesmo, algumas situações em que não é possível resolver a equação sem lançar mão dessas propriedades.

Para resolver equações logarítmicas, aplicamos os conceitos tradicionais de resolução de equações e de logaritmos até que a equação chegue a dois possíveis casos:

1º) Igualdade entre logaritmos de mesma base:

Se ao resolver uma equação logarítmica, chegarmos a uma situação de igualdade entre logaritmos de mesma base, basta igualar aos logaritmandos. Exemplo:

log_a b = log_a c → b = c

2º) Igualdade entre um logaritmo e um número real

Se a resolução de uma equação logarítmica resultar na igualdade de um logaritmo e um número real, basta aplicar a propriedade básica do logaritmo:

log_a b = x ↔ a^x = b

Alguns exemplos:

1° Exemplo:

log₂ (x + 1) = 2

Vamos testar a condição de existência desse logaritmo. Para tanto, o logaritmando deve ser maior do que zero:

x + 1 > 0
x > – 1

Nesse caso, temos um exemplo do 2º caso, portanto, desenvolveremos o logaritmo da seguinte forma:

log₂ (x + 1) = 2
2² = x + 1
x = 4 – 1
x = 3

2° Exemplo:

log₅ (2x + 3) = log₅ x

Testando as condições de existência, temos:

2x + 3 > 0 2x > – 3 x > – 3/2

x > 0

Nessa equação logarítmica, há um exemplo do 1º caso. Como há uma igualdade entre logaritmos de mesma base, devemos formar uma equação apenas com os logaritmandos:

log₅ (2x + 3) = log₅ x
2x + 3 = x
2x – x = – 3
x = – 3

3° Exemplo:

log₃ (x + 2) – log₃ (2x) = log₃ 5

Verificando as condições de existência, temos:

x + 2 > 0 x > – 2

2x > 0      x > 0

Aplicando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a subtração de logaritmos de mesma base como um quociente:

log₃ (x + 2) – log₃ (2x) = log₃ 5
log₃ (x + 2) – log₃ (2x) = log₃ 5

Chegamos a um exemplo do 1º caso, portanto devemos igualar os logaritmandos:

x + 2 = 5
2x  
x + 2 = 10x
9x = 2
x = ²/₉

4° exemplo:

log_{x – 1} (3x + 1) = 2

Ao verificar as condições de existência, devemos analisar também a base do logaritmo:

x – 1 > 0 x > 1

3x + 1 > 0 3x > – 1 x > – 1/3

Essa equação logarítmica pertence ao 2° caso. Resolvendo-a, temos:

log_{x – 1} (3x + 1) = 2
(x – 1)² = 3x + 1
x² – 2x + 1 = 3x + 1
x² – 5x = 0
x.(x – 5) = 0
x' = 0
x'' – 5 = 0
x'' = 5

Observe que pelas condições de existência (x > 1), a solução x' = 0 não é possível. Portanto, a única solução para essa equação logarítmica é x'' = 5.

5° exemplo:

log₃ log₆ x = 0

Aplicando as condições de existência, temos que x > 0 e log₆ x> 0. Logo:

log₃ (log₆ x) = 0
3⁰ = log₆ x
log₆ x = 1
6¹ = x
x = 6

Função Logaritmica:

Toda função definida pela lei de formação f(x) = log_ax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a.

Exemplos de funções logarítmicas:

f(x) = log₂x
f(x) = log₃x
f(x) = log_1/2x
f(x) = log₁₀x
f(x) = log_1/3x
f(x) = log₄x
f(x) = log₂(x – 1)
f(x) = log_0,5x 

Gráfico de uma função logarítmica

Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:

? a > 1

? 0 < a < 1


Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função crescente

 Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função decrescente

Características do gráfico da função logarítmica y = log_ax 

O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.
Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.
Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R.

Inequações Logarítmicas:

Para estudarmos inequações logaritimas precisamos ter cuidado com algumas restrições.

A resolução de uma inequação logarítmica depende de alguns fatores. Siga os passos seguintes:

• Condição de existência: antes de prosseguir com a resolução, procure a (s) condição (ões) de existência (s) dos logaritmos. Lembre-se de que em  , a > 0 e a ≠ 1, N > 0. Essas são as condições de existência.
• Base: caso alguma base seja diferente, converta-a a mesma base e em seguida forme uma inequação com logaritmandos.
• Função crescente: se a > 1, mantem-se a direção do sinal inicial.
• Função decrescente: se 0 < a < 1, inverte a direção do sinal inicial.
• Solução final: a solução é dada pela interseção das condições de existência pelo resultado da inequação.

Exemplo 1: log₅ (2x – 3) < log₅ x

·         Devemos verificar as condições de existência dos logaritmos:

2x – 3 > 0 2x > 3 x > 3/2

x > 0

·         Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é maior do que 1. Podemos então manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:

·         log₅ (2x – 3) < log₅ x
2x – 3 < x
2x – x < 3
x < 3

·        

Quadro de resolução do Exemplo 1

·        Nesse caso, a solução é 

.

Exemplo 2: log₂ (x + 3) ≥ 3

·         Primeiramente, verificamos a condição de existência do logaritmo:

·         x + 3 > 0
x > – 3

·         Nesse caso, há uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. Podemos resolver o logaritmo da forma convencional, mantendo a desigualdade:

·         log₂ (x + 3) ≥ 3
x + 3 ≥ 2³ 
x + 3 ≥ 8
x ≥ 8 – 3
x ≥ 5 
 

·        

Quadro de resolução do Exemplo 2

·         A solução é 

.

Exemplo 3: log_1/2 3x > log_1/2 (2x + 5)

·         Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:

3x > 0        x > 0

2x + 5 > 0 2x > – 5 ​x > – 5/2

·         Nesse exemplo, há uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é menor do que1. Para resolvê-la, devemos inverter a desigualdade, aplicando-a entre os logaritmandos:

·         log_1/2 3x > log_1/2 (2x + 5)
3x < 2x + 5
3x – 2x < 5
x < 5

·        

Quadro de resolução do Exemplo 3

·         Nesse caso, a solução é 

​Por Juliana Costa