Olá galera hoje teremos mais uma postagem sobre exponencial!

 Equações exponenciais:

Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função apresenta características individuais análise de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras.

Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. Observe a resolução da equação exponencial a seguir:

3^x = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 3⁷)
3^x = 3⁷
x = 7

O valor de x na equação é 7.

Exemplos:

01. Resolva a equação 5x = 125.

Solução: 
5x = 125→ 5x = 5 3 →x = 3 

02. Resolva a equação 32x + 4.3x + 3 = 0.

Solução: 
A expressão dada pode ser escrita na forma:

(3x)2 – 4.3x + 3 = 0

Fazendo 3x = y, temos:

y2 – 4y + 3 = 0   y = 1 ou y = 3 
Como 3x= y, então 3x= 1 x = 0 ou 3x = 3 x = 1

Portanto, S = {0,1}. 

Inequações exponenciais:

Assim como as equações exponenciais, as inequações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente.  Alguns exemplos:

A resolução de uma inequação exponencial poderá ser dada através das propriedades da potenciação. Mas lembre-se de que f(x) = a^x somente é crescente quanto a > 1. Caso 0 < a < 1, f(x) = a^x é decrescente.

Antes de resolver uma inequação exponencial, deve-se observar a situação das bases nos dois membros, caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em seguida, forme uma inequação com os expoentes. Atente-se as regras dos sinais:

• Caso a > 1, mantenha o sinal original.
• Caso 0 < a < 1, inverta o sinal.

Exemplos:

 Ex 1

2^x ≥ 128

Por fatoração, 128 = 2⁷. Portanto:

2^x ≥ 2⁷  → como as bases são iguais e a > 1, basta formar uma inequação com os expoentes.

x ≥ 7

S = {x ∈ R | x ≥ 7}

Ex 2

                                

Neste exemplo as bases já são iguais. Porém, é necessário observar que 0 < a < 1. Diante dessa condição, inverte-se o sinal.

x > 2.

S = {x ∈ R | x > 2}

Ex 3

                                   Função exponencial:

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

                                    f: R→R tal que y = a ^x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

                                       

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Exemplo 1

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10)=v₀ *2 ^–0,2*10

12000=v₀ *2 ^–2

12000=v₀ *1/4

12000:1/4=v₀

v₀ =12000*4

v₀ = 48 000
                                                 Por Juliana Costa